VLOG

YOUTUBE 

https://youtu.be/sfqpRP4QElw (Determinan Laplace) 

https://youtu.be/U4hQMOhtONA (Determinan Chio) 

https://youtu.be/xMDlf1r0OC8  (Transformasi Linier) 

https://youtu.be/7eErVJhAg6s (Metode Gauss Jordan)

BASIS DAN DIMENSI

BASIS DAN DIMENSI

PENGERTIAN BASIS ADALAH 

suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya.

1.Kombinasi Linier  

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :                                                                    

x = k1u1+ k2u2 +… + knun dimana k1, k2,…,kn adalah skalar.

Langkah- langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.setelah itu ubah bentuk vektor menjadi SPL

4. setelah menjadi SPL ada 2 pilihan  kalian bisa menyelesaikannya dengan  eliminasi subtitusi atau menggunakan metode gauss dengan merubah spl ke dalam bentuk matriks.

2.Membangun Ruang Vektor

 Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V.

 x=[x1,x2,x3]T vektor di R3.

Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w”

Langkah- langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.setelah itu ubah bentuk vektor menjadi SPL

4. setelah menjadi SPL ada 2 pilihan  kalian bisa menyelesaikannya dengan syarat-syarat membangun ruang vektor atau menggunakan metode mengecek determinan matriks jika D tidak sama dengan 0 maka dia membangun ruang vektor. Jika sama dengan 0 maka dia tidak membangun ruang vektor.

3.Kebebasan Linier      

S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + … + knun = 0 

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier

 x=[x1,x2,x3]T vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w

Langka-Langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. subtitusikan nilai-nilai yang diketahui ke rumus kombinasi linier

3.setelah itu ubah bentuk vektor menjadi SPL

4. setelah menjadi SPL ada 2 opsi kalian bisa menyelesaikannya dengan syarat-syarat kebebasan linier atau menggunakan metode mengecek determinan matriks jika D tidak sama dengan 0 maka dia bebas linier. Jika sama dengan 0 maka dia tidak bebas linier

4.Subspace/Ruang Bagian

Misalkan W adalah subset dari sebuah ruang vektor V W dinamkan Subruang (subspace) V

Jika W dengan operasi yang sama dengan V juga membentuk ruang Vektor

Atau

W disebut subruang dari V jika memenuhi :

W tidak sama dengan {}

W himpunan bagian V

jika vektor u, vektor v elemen W maka vektor u+vektor v elemen W

Jika vektor u elemen W dan k elemen dari bilangan rill maka k.vektor u elemen W”

Langkah – langkah :

1. Tulis yang diketahui

2. Buatlah permisalan  matriks (A dan B) dimana bentuknya menyerupai S

3.setelah itu jumlahkan matriks A dan B

4. cek apakah ketika A dan B ditambahkan hasilnya merupakan elemen dari S? Jika iya maka syarat pertama terpenuhi

4. selanjutnya ambil salah satu matriks kemudian kalikan dengan konstanta (k) 

5. Jika hasilnya merupakan elemen dari S maka syarat kedua terpenuhi dan S disebut dengan sub bagian dari R^2

SOAL

r1 = { 1,2,3 }

r2 = { 0,1,6/5 }

r3 = { 0,0,1 }

Bilangan utama 1 ada pada semua baris pada matriks U sehingga basis dari ruang baris adalah s = { r1,r2,r3 } dan dimensi ruang barisnya adalah 3

SEKIAN SEMOGA BERMANFAAT

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Berikut adalah 2 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:

1.

PENJELASAN

2.

SEKIAN SEMOGA BERMANFAAT

TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakantransformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika Fmengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalah R².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

            

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor diR^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya  adalah sebuah sudut tetap, dan misalnya T :2ⁿàR² adalah perkalian oleh matriks

Jika v adalah vektor

Maka

Secara geometris, maka  adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikann melalui sudut . Untuk melihat ini, maka misalkan  adalah sudut diantara v dan sumbu x positif, dan misalkan

Adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut  pada gambar di bawah. Kita akan memperlihatkan . Jika r menyatakan panjangnya sebagai v, maka

                 

Demikian juga, karena  mempunyai panjang yang sama seperti v, maka kita peroleh

                     

Sehingga

Transformasi linear pada contoh ini kita namakan perputaran R² melalui sudut .

Contoh 3

Misalkan Vdan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V à W sehingga T(v) = 0 untuk setiap v diV adalah sebuah transformasi linear yang kita namakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa T linear, perhatikan bahwa

Maka

Contoh 4

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan V = R³ mempunyai hasil jail dalam euclidis. Vektor-vektor w₁ = (1, 0, 0) dan w₂ = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. jadi, jika v = (x, y, z) adalah sebarang vektor di R³, maka proyeksi orthogonal dari R³ pada bidang xy di berikan oleh 

(x, y, z)

(x, y, z)

T(v)

x

y

v

Contoh 5

Misalkan V adalah sebuah ruang hasil kali dalam dan misalkan v₀ adalah sebarang vektor tetap di V. misalkan T : V  R adalah transformasi yang memetakan vektor v ke dalam hasil kali dalamnya denganV₀ ; yakni

Dari sifat-sifat hasil kali dalam maka

Contoh 6

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = ( w₁, w₂,…….., w_n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut Teorema 29 dari bagian 4.10 maka sebarang dua vektor dan v di V dapat dituliskan secara unik dalam bentuk

Jadi

Tetapi

Sehingga

Maka

Demikian juga, untuk matriks koordinat kita peroleh

Misalkan kita ambil T : V à Rⁿsebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di V dimana vektor koordinatnya bersesuaian terhadap S ; yakni

Maka rumus-rumus di T, pada a dan b menyatakan bahwa

Dan

Jadi, T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rⁿ.