ALJABAR LINIER: METODE ADJOINT

METODE ADJOINT

Adjoin matriks merupakan transpose dari matriks kofaktor. Adjon sering disingkat dengan Adj. Misalkan matriks A, maka adjoin A ditulis Adj (A). Transpose sendiri maksudnya adalah pertukaran elemen pada baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Adjoin matriks digunakan dalam menentukan invers matriks.

$A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}$ Tentukan invers matriks dari .

$det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)$

$= 32 -10 + 0-24-10-0$

$= -12$

Selanjutnya akan ditentukan $Adj(A)$ , tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $A$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10$

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari $A$ adalah $\begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $A$ adalah $A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ .

Contoh 2.

Tentukan invers matriks dari $B = \begin{bmatrix} 8&-3&-5\\ 0&1&2\\ 4&-7&6 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor. Tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 1&2\\ -7&6 \end{vmatrix} = 1(6)-2(-7) = 20$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0&2\\ 4&6 \end{vmatrix} = -1(0(6)-2(4)) = 8$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0&1\\ 4&-7 \end{vmatrix} = 0(-7)-1(4) = -4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -3&-5\\ -7&6 \end{vmatrix} = -1(-3(6)-(-7)(-5)) = -17$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 8&-5\\ 4&6 \end{vmatrix} = 8(6)-4(-5) = 68$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-3\\ 4&-7 \end{vmatrix} = -1(8(-7)-4(-3)) = 44$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -3&-5\\ 1&2 \end{vmatrix} = -3(2)-1(-5) = -1$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-5\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(8(2)-0(-5)) = -16$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 8&-3\\ 0&1 \end{vmatrix} = 8(1)-0(-3)) = 8$

Oleh karena itu, diperoleh

$det(B) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$

$= 0(-17) + 1(68) + 2(44)$

$= 68+88$

$= 156$

Selanjutnya diperoleh matriks kofaktor dari $B$ adalah $\begin{bmatrix} 20&8&-4\\ -17&68&44\\ -1&-16&8 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(B) = \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{156} \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ .

Contoh 3.

Tentukan invers matriks dari $C = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&0\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks dengan Eselon Baris. Perhatikan,

1. Baris Kedua : $B_2-2B_1$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$

2. Baris Ketiga : $B_3-\dfrac{2}{5}B_2$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&0&-\dfrac{1}{5} \end{bmatrix}$

Jadi, $set(B) = 1 \cdot 5 \cdot -\dfrac{1}{5} = -1$

Selanjutnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 3&0\\ 2&-1 \end{vmatrix} = 3(-1)-0(2) = -3$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1(2(-1)-0(0)) = 2$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{vmatrix} = 2(2)-3(0) = 4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{vmatrix} = -1(-1(-1)-1(2)) = 1$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 1&1\\ 0&-1 \end{vmatrix} = 1(-1)-1(0) = -1$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(1(2)-0(-1)) = -2$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&1\\ 3&0 \end{vmatrix} = -1(0)-1(3) = -3$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&1\\ 2&0 \end{vmatrix} = -1(1(0)-1(2)) = 2$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 1&-1\\ 2&3 \end{vmatrix} = 1(3)-2(-1) = 5$

Oleh karena itu, diperoleh matriks kofaktor dari $C$ adalah $\begin{bmatrix} -3&2&4\\ 1&-1&-2\\ -3&2&5 \end{bmatrix}$ .
Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(C) = \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix}$
Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&-1&3\\ -2&1&-2\\ -4&2&-5 \end{bmatrix}$

ALJABAR LINIER

Rabu, 24 Oktober 2018

METODE ADJOINT

METODE ADJOINT

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

VLOG

Laporkan Penyalahgunaan

Label