ALJABAR LINIER: METODE CHIO

METODE CHIO

Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det (A). Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo $n \times n$ dengan $n \geq 3$ .

Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo $n \times n$ menjadi ordo $(n-1) \times (n-1)$ dan dikalikan dengan elemen $a_{11}$ . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo $2 \times 2$ . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen $a_{11} \neq 0$ . Apabila nilai elemen $a_{11} = 0$ maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh $a_{11} \neq 0$ .

Perhatikan untuk matrik dengan ordo $3 \times 3$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo $4 \times 4$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi $n \times n$ , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Contoh 1.

Hitung determinan matriks.

$A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}$

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)$

$= \dfrac{1}{-2} (-154-144)$

$= \dfrac{1}{-2} (-298)$

Contoh 2.

Hitung determinan matriks.

$B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}$

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$

Misal $C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$ , diperoleh

$det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$